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Die Antwort auf diese Frage findest du im Silmarillion, im Kapitel "Of the Rings of Power and the Third Age".
"Now the Elves made many rings; but secretly Sauron made One Ring to rule all the others, and their power was bound up with it, to be subject wholly to it and to last only so long as it too should last. And much of the strength and will of Sauron passed into that One Ring; for the power of the Elven-rings was very great, and that which should govern them must be a thing of surpassing potency [...]
But the Elves fled from him; and three of their rings they saved, and bore them away, and hid them. Now these were the Three that had last been made, and they possessed the greatest powers. Narya, Nenya, and Vilya, they were named, the Rings of Fire, and of Water, and of Air, set with ruby and adamant and sapphire; and of all the Elven-rings Sauron most desired to possess them, for those who had them in their keeping could ward off the decays of time and postpone the weariness of the world. But Sauron could not discover them, for they were given into the hands of the Wise, who concealed them and never again used them openly while Sauron kept the Ruling Ring. Therefore the Three remained unsullied, for they were forged by Celebrimbor alone, and the hand of Sauron had never touched them; yet they also were subject to the One."
Sauron hat mit dem Meisterring kein Objekt geschaffen, dass dazu dient, "seine" Ringe zu "verbinden", sondern ein Instrument, mit dem er auf jeden, der einen Ring der Macht trägt, direkten Einfluss nehmen kann. Das "sie" im Ringgedicht bezieht sich auf alle Träger und ihre Ringe. Sie sind es die er finden und knechten will. Er hackt ihre Ringe gewissermaßen. Bei der Herstellung seines einen Rings hat er seine Stärke und Willen in diesen gegeben, um sich diese Fähigkeit gewissermaßen zu erkaufen. Also auch die drei Elbenringe können grundsätzlich vom Einen Ring erfasst werden und sind sie ja bereits, dadurch dass ihre Macht völlig an diesen gebunden ist. Die Ringe, bei denen Sauron ohnehin mitgearbeitet hat, sind in ihrer Funktion bereits durch ihn pervertiert und haben auch ohne den Einen Ring ein bösartiges Eigenleben, was die Elbenringe nicht haben.
Um deine Frage also kurz zu beantworten: Weil Sauron die Macht aller Ringe, ob er sie berührt hat oder nicht, an seinen Ring gebunden hat. Da dieser zerstört ist, verlieren auch alle anderen Ringe ihre Macht.